什么是负定矩阵
负定矩阵指的是一个实对称矩阵，其所有特征纸都小于零。具体而言，对于一个n×n的实对称矩阵A，如果对于任意非零的实向量x，都有x^TAx < 0，则矩阵A被称为负定矩阵。负定矩阵在数学和应用领域中具有重要的作用，例如在优化问题和控制理论中的应用。
负定矩阵一定可逆吗
负定矩阵不一定可逆。虽然负定矩阵具有很多良好的性质，例如它们的特征纸都是非负的，但是这并不意味着它们一定是可逆的。
一个矩阵是可逆的，当且仅当它是方阵（行数和列数相等）且其行列式不为零。对于负定矩阵来说，虽然它们的所有特征纸都是非负的，但是在某些情况下，它们的行列式可能会为零，从而导致矩阵不可逆。
例如，考虑以下负定矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}
$$
这个矩阵是负定的，因为它的所有特征纸都是非负的（在这个例子中，特征纸为-1）。然而，它的行列式为零：
$$
\text{det}(A) = (-1) \times (-1) - 0 \times 0 = 1
eq 0
$$
尽管这个矩阵是负定的，但它不是可逆的，因为它的行列式为零。
因此，负定矩阵不一定可逆。