涉嫌非法持有弹药罪的嫌疑人在刑事诉讼中享有以下诉讼权利：
1. 聘请律师的权利：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十四条，犯罪嫌疑人自被侦查机关第一次讯问或者采取强制措施之日起，有权委托辩护人；在侦查期间，只能由律师担任辩护人。被告人有权随时委托辩护人。
2. 获得法律帮助的权利：犯罪嫌疑人、被告人因经济困难或者其他原因没有委托辩护人的，本人及其近亲属可以向法律援助机构提出申请。
3. 知悉指控的罪名和犯罪事实的权利：《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百七十六条规定，人民检察院认为犯罪嫌疑人的犯罪事实已经查清，证据确实、充分，依法应当追究刑事责任的，应当作出起诉决定，按照审判管辖的规定，向人民法院提起公诉，并将案卷材料、证据移送人民法院。
4. 申请排除非法证据的权利：在侦查阶段，对于侦查机关认为是非法取证而进行排除的供述，犯罪嫌疑人可以提出申请。
5. 上诉权：如果犯罪嫌疑人对一审判决不服，有权向上一级人民法院提起上诉。
6. 申请再审的权利：如果案件进入二审程序后，或者判决生效后，犯罪嫌疑人认为判决有错误，可以申请再审。
7. 获得翻译的权利：如果犯罪嫌疑人不通晓当地通用的语言文字，有权要求提供翻译。
8. 控告权：如果犯罪嫌疑人遭受非法拘禁、刑讯逼供等侵权行为，有权控告。
9. 获得赔偿的权利：如果犯罪嫌疑人因侦查机关的行为遭受损失，有权依法获得国家赔偿。
这些权利旨在保障犯罪嫌疑人的合法权益，确保司法公正。需要注意的是，具体权利的行使可能会受到法律规定和实际情况的限制。
