三阶矩阵的伴随矩阵是3倍矩阵吗
三阶矩阵的伴随矩阵并不一定是原矩阵的3倍。伴随矩阵的定义是原矩阵的各个元素的代数余子式所构成的矩阵的转置。具体来说，对于一个n阶矩阵A，其伴随矩阵记作adj(A)，是由A的代数余子式构成的矩阵的转置。
对于三阶矩阵A，其伴随矩阵adj(A)的每个元素是A的对应元素的代数余子式。因此，adj(A)的大小与A相同，都是3x3的矩阵。
但是，adj(A)并不一定是A的3倍。只有当A是一个对角线上元素全为1，其余元素全为0的三阶矩阵时，其伴随矩阵才是A的3倍。这是因为在这种情况下，A的每个元素的代数余子式就是其对角线上的元素，而代数余子式的转置（即伴随矩阵）就是对角线上元素的全3倍。
对于一般的三阶矩阵，其伴随矩阵与原矩阵之间没有固定的倍数关系。
三阶矩阵的伴随矩阵是3倍矩阵吗怎么算
三阶矩阵的伴随矩阵并不是原矩阵的3倍。伴随矩阵是由原矩阵的代数余子式组成的转置矩阵。
设 $A$ 是一个 $3 \times 3$ 的矩阵，其伴随矩阵记作 $\text{adj}(A)$。根据伴随矩阵的定义，$\text{adj}(A)$ 的每个元素是 $A$ 对应位置的代数余子式。具体来说，如果 $A$ 的元素表示为 $a_{ij}$，那么 $\text{adj}(A)$ 的元素 $\text{adj}(A)_{ij}$ 是 $A$ 去掉第 $i$ 行和第 $j$ 列后得到的 $2 \times 2$ 子矩阵的行列式乘以 $(-1)^{i+j}$。
因此，$\text{adj}(A)$ 并不是 $A$ 的3倍，而是由 $A$ 的代数余子式构成的转置矩阵。
举个例子，考虑一个简单的 $3 \times 3$ 矩阵：
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$
计算其伴随矩阵 $\text{adj}(A)$：
1. 计算每个元素的代数余子式：
- $\text{adj}(A)_{11}$ 是 $5 \times 9 - 6 \times 8 = 45 - 48 = -3$
- $\text{adj}(A)_{12}$ 是 $-4 \times 9 + 6 \times 7 = -36 + 42 = 6$
- $\text{adj}(A)_{13}$ 是 $-4 \times 5 + 6 \times 4 = -20 + 24 = 4$
- $\text{adj}(A)_{21}$ 是 $2 \times 9 - 3 \times 8 = 18 - 24 = -6$
- $\text{adj}(A)_{22}$ 是 $-1 \times 9 + 3 \times 7 = -9 + 21 = 12$
- $\text{adj}(A)_{23}$ 是 $-1 \times 5 + 3 \times 4 = -5 + 12 = 7$
- $\text{adj}(A)_{31}$ 是 $-2 \times 9 + 1 \times 8 = -18 + 8 = -10$
- $\text{adj}(A)_{32}$ 是 $-1 \times 9 + 1 \times 7 = -9 + 7 = -2$
- $\text{adj}(A)_{33}$ 是 $-1 \times 5 + 1 \times 4 = -5 + 4 = -1$
2. 将代数余子式排列成转置矩阵：
$$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -3 & -6 & 4 \\ 6 & 12 & 7 \\ -10 & -2 & -1 \end{pmatrix}$$
显然，$\text{adj}(A)$ 并不是 $A$ 的3倍。