圆内接三角形性质
1. 在一个圆内，存在且只存在一个与圆的三条边相交的三角形，该三角形被称为圆内接三角形。
2. 圆内接三角形的三个顶点在圆的圆周上。
3. 圆内接三角形的内心（垂线的交点）与三条边的中点都在圆的圆心。
4. 圆内接三角形的外心（三个垂直平分线的交点）与圆的圆心重合。
5. 圆内接三角形的重心（三条中线和三条高线的交点）与圆心距离的平方和等于三条边长的平方和。
6. 圆内接三角形的面积等于圆的半径乘以三角形的周长的一半。
7. 圆内接三角形的内角无论如何变化，其和始终为180度。
圆内接三角形性质及应用例题
圆内接三角形的性质主要包括以下几点：
1. 圆内接三角形的对边之和等于直径：即，若三角形ABC是圆O的内接三角形，且AB、BC、CA分别是三角形的三边，那么有AB + BC = AC（这里的AC指的是直径，但需注意，这里的表述与常规不同，通常我们说的是“直径所对的圆周角是直角”，而不是直接说对边之和等于直径）。
2. 圆内接三角形的外角等于不相邻两内角之和：即，若∠APB是圆内接三角形ABC的一个外角，那么∠APB = ∠BAC + ∠ACB。
3. 圆内接三角形的一个外角等于它所夹的两段弧之和所对的圆周角：这也是圆内接三角形的一个重要性质。
应用例题：
例1：已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，求这个三角形的外接圆半径。
解：
1. 根据勾股定理，若3^2 + 4^2 = 5^2，则该三角形为直角三角形。
2. 直角三角形的斜边是外接圆的直径，所以直径为5。
3. 因此，外接圆的半径为直径的一半，即2.5。
例2：已知一个圆内接三角形的三个内角分别为60°、70°和50°，求这个三角形的三边长比例。
解：
1. 根据三角形内角和为180°，可以验证给定的三个内角确实能构成一个三角形。
2. 利用圆内接三角形的性质，特别是外角等于不相邻两内角之和，可以求出某些边的比例关系。
3. 但在此特定问题中，没有足够的信息直接求出三边长的具体比例。通常需要额外的信息，如某一边与其对应的圆周角的关系，才能求解。
例3：一个圆的直径是10cm，求这个圆的内接正三角形的边长。
解：
1. 已知圆的直径为10cm，则半径为5cm。
2. 设内接正三角形的一边为a，由于是正三角形，其高就是半径，即5cm。
3. 利用30°-60°-90°直角三角形的性质（其中60°角对应的直角边是斜边的一半），可以求出a的纸。
4. 具体地，a = 2 * 5 * sin(30°) = 5cm（因为sin(30°) = 1/2）。