如何求平面法向量
求平面的法向量可以通过平面上的两个非共线的向量来确定。
设平面上有两个非共线向量a和b，可以通过计算向量a和向量b的叉乘来得到平面的法向量。
具体步骤如下：
1. 计算向量a和向量b的叉乘，得到向量c。
c = a × b
2. 向量c即为平面的法向量。
需要注意的是，若向量a和向量b不在同一平面上，则无法计算法向量。另外，叉乘计算的结果是一个与平面垂直的向量，但没有指定方向，可以根据需要进行正确的取向。
求平面法向量的简便方法
平面的法向量是与该平面垂直的向量。在三维空间中，一个平面可以由三个非共线的点确定，或者由一个点和一个法向量确定。因此，求平面的法向量通常涉及到解线性方程组。
以下是一个简便方法来求平面法向量：
1. 确定两个不共线的点：
假设平面上的两个不共线的点为 $A(x_1, y_1, z_1)$ 和 $B(x_2, y_2, z_2)$。
2. 计算向量AB：
向量 $\vec{AB}$ 可以通过坐标差来计算，即 $\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$。
3. 求解法向量：
设平面的法向量为 $\vec{n} = (a, b, c)$。由于法向量与平面上的任意两个非零向量都垂直，因此有：
$$
\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0
$$
即：
$$
a(x_2 - x_1) + b(y_2 - y_1) + c(z_2 - z_1) = 0
$$
这是一个线性方程，有三个未知数 $a, b, c$，但只有一个方程。因此，我们可以选择其中两个变量作为自由变量，并解出第三个变量。
4. 示例：
假设点 $A(1, 2, 3)$ 和点 $B(4, 5, 6)$，则 $\vec{AB} = (3, 3, 3)$。
我们可以选择 $a = 1, b = 0$，则方程变为 $3 + 3c = 0$，解得 $c = -1$。
因此，一个可能的法向量为 $\vec{n} = (1, 0, -1)$。
5. 验证：
将法向量代入法向量的点积公式中验证其正确性。对于任意点 $P(x, y, z)$，有 $\vec{n} \cdot \vec{AP} = a(x - 1) + b(y - 2) + c(z - 3)$。由于 $\vec{n}$ 是法向量，它应该与平面上的任意向量垂直，因此点积应为零。
请注意，这个方法给出的是一个可能的法向量，实际上平面的法向量可能有无数个，它们都是平行的。可以选择不同的自由变量来得到不同的法向量，但它们都是等价的。
另外，如果平面方程已知，例如 $Ax + By + Cz + D = 0$，那么法向量可以直接从方程中读出，即 $\vec{n} = (A, B, C)$。