故意损毁名胜古迹构成犯罪后，责任的追究主要包括以下几个方面：
1. 刑事责任：根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，故意损毁国家保护的珍贵文物或者被确定为全国重点文物保护单位、省级文物保护单位的文物的，处三年以下有期徒刑或者拘役，并处或者单处罚金；情节严重的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金。
2. 民事责任：除了刑事责任外，行为人还需要承担相应的民事责任。这包括赔偿因损毁名胜古迹而给他人造成的损失，如修复费用、文物价纸损失等。
3. 行政责任：如果行为人的行为违反了有关文物保护的法律、法规，还可能受到行政处罚。例如，责令停止违法行为、限期恢复原状、罚款等。
4. 其他责任：在某些情况下，如行为人的行为导致名胜古迹的永久性损害或灭失，还可能涉及到其他责任，如赔偿生态环境损失、承担修复责任等。
在追究责任的过程中，通常需要综合考虑行为人的主观故意、行为方式、造成的后果等因素，依法作出公正、合理的处理。同时，也需要加强文物保护意识的宣传和教育，提高公众对名胜古迹的保护意识。
