根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公司不签订劳动合同的法律责任主要包括以下几点：
1. 支付双倍工资：用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果公司未与员工签订劳动合同超过一个月但不满一年，员工有权要求公司支付双倍的工资。
2. 视为签订无固定期限合同：用人单位自用工之日起满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。在这种情况下，员工可以要求公司与自己签订无固定期限的劳动合同。
3. 补订书面合同：如果用人单位仍然拒绝与员工签订书面劳动合同，必须立即与员工补订书面劳动合同。
4. 支付赔偿金：用人单位违反规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。此外，用人单位违反法律规定解除或终止劳动合同的，应当依照规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
5. 承担行政责任：用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，劳动行政部门会责令用人单位在一定期限内向劳动者每月支付二倍的工资。如果逾期不支付，还可能面临罚款等行政处罚。
6. 承担民事责任：用人单位未与劳动者签订书面劳动合同，可能导致劳动者在劳动过程中受到损害。此时，劳动者有权要求用人单位承担相应的民事赔偿责任。
总之，公司不签订劳动合同将面临多方面的法律责任，包括支付双倍工资、视为签订无固定期限合同、补订书面合同、支付赔偿金、承担行政责任以及承担民事责任等。这些责任旨在保护劳动者的合法权益，促进劳动关系的和谐稳定。
